2015-10-13

Lamento de un Matemático

Reseña de Lockhart’s Lament
Un músico tiene una pesadilla terrible.  En su sueño, se encuentra en una sociedad donde la educación musical se ha vuelto obligatoria. “Estamos ayudando a nuestros estudiantes a ser más competitivos en un mundo cada vez más lleno de sonidos.” Educadores, sistemas educativos y el estado se hacen cargo de este vital proyecto.  Se encargan estudios, se forman comités y se toman decisiones—todo sin el consejo ni participación de un solo músico o compositor profesional.

Como es sabido que los músicos escriben sus ideas en notación musical, estas líneas y bolitas negras deben constituir “el lenguaje de la música.” Es imperativo que los estudiantes sean diestros en este lenguaje si es que van a tener algún grado de competencia musical; de hecho, sería ridículo esperar que un niño pudiera cantar o tocar un instrumento sin haber formado cimientos robustos en la notación y teoría musical.  Tocar un instrumento y escuchar música se consideran temas muy avanzados—y ni se diga de la composición—y generalmente se posponen hasta la universidad, frecuentemente hasta el posgrado.

En cuanto a la educación primaria y secundaria, su misión es entrenar a los estudiantes a usar este lenguaje—menear estos símbolos de acuerdo a reglas establecidas: “En clase de música sacamos nuestro papel pautado, la maestra escribe algunas notas en el pizarrón, y nosotros las copiamos y las transportamos a otra tonalidad.  Tenemos que asegurarnos de tener las claves y armaduras correctas, y nuestra maestra es muy estricta acerca de rellenar las negras completamente.  Una vez tuvimos un problema acerca de una escala cromática y lo hice bien, pero la maestra no me dio puntos porque tenía las plicas apuntando para el lado equivocado.”

En su sabiduría, los educadores se dan cuenta que inclusive los niños más pequeños pueden recibir este tipo de instrucción musical.  De hecho, se considera vergonzoso que un niño de tercero no haya memorizado completamente su ciclo de quintas. “Tendré que conseguirle a mi hijo un tutor para música.  Simplemente no se aplica a su tarea de música.  Dice que es aburrido.  Solamente se sienta mirando por la ventana, tarareando e inventando canciones bobas.”

En los grados avanzados la presión realmente aumenta.  Después de todo, los estudiantes deben prepararse para los exámenes estandarizados y de admisión a la universidad.  Deben tomar cursos en Escalas, Modos, Métrica, Armonía y Contrapunto.  “Es mucho para aprender, pero cuando lleguen a la universidad y por fin escuchen estas cosas, apreciarán todo el trabajo que invirtieron en la prepa.” Claro, muchos estudiantes no se dedican a la música después, así que solo unos pocos llegarán a escuchar los sonidos que los puntos negros representan.  Aún así, es importante que cada miembro de la sociedad pueda reconocer una modulación dentro de un pasaje fugal, aunque nunca lo escuchen.  “La verdad, la mayoría de los estudiantes simplemente no son buenos para la música.  Se aburren en clase, sus habilidades son terribles y sus tareas son ilegibles.  A la mayoría no le pudiera importar menos el papel de la música en el mundo actual; solo quieren tomar lo mínimo requerido para pasar sus cursos y terminar con eso.  Supongo que simplemente hay gente musical y gente no musical.  ¡Pero una vez tuve una alumna que era sensacional!  Su notación era impecable—cada nota en el lugar correcto, perfecta caligrafía, sostenidos, bemoles…simplemente hermoso.  Algún día será una artista ejemplar.”

Despertando en medio de un sudor frío, el  músico se da cuenta, agradecido, de que fue solo un sueño loco. Por supuesto, se consuela, ninguna sociedad reduciría una forma de arte tan hermoso y significativo a algo tan mecánico y trivial; ninguna cultura podría ser tan cruel con sus niños y robarles de un medio tan satisfactorio de expresión humana.  ¡Qué absurdo!
*  *  *
Y sin embargo, es así como se “enseñan” las matemáticas a millones de niños y jóvenes alrededor del mundo.  Si uno le pregunta a una matemática profesional qué son las matemáticas para ella, contesta con palabras como creatividad, rigor, belleza, elegancia y simetría.  Pero si uno le pregunta lo mismo a un muchacho de secundaria, se topa con aburrimiento, confusión, memorización y tedio.  Los pocos alumnos que disfrutan de las matemáticas en ocasiones lo hacen por las razones equivocadas: no son realmente buenos para las matemáticas, sino que simplemente son buenos para seguir instrucciones que memorizaron.  Entonces se tiene un doble problema: alumnos que hubieran sido brillantes matemáticos se dedican a otras cosas, y alumnos que creen ser buenos matemáticos tienen un encuentro brusco con la realidad cuando por fin entienden de qué se trata el asunto.

El Lamento de Lockhart (Lockhart’s Lament) fue escrito en 2002 por el matemático Paul Lockhart.  A través de más de 20 páginas de apasionada argumentación, plantea la idea radical de enseñar matemáticas a los alumnos como realmente hacen matemáticas los profesionales.  Digo radical, porque cuando uno lee el texto de Lockhart, inmediatamente se tiene el reflejo instantáneo de que tal cosa no podría funcionar.

¿Pero es así? A nadie le preocupa que los alumnos tengan perfecta redacción, ortografía y vocabulario antes de leer Shakespeare en la preparatoria.  ¿Entonces por qué escondemos el verdadero razonamiento matemático de los alumnos a toda costa? No solo eso, sino que los problemas realmente interesantes que ocasionalmente se tratan en la educación elemental son oscurecidos y complicados innecesariamente en nombre de la “formalidad.”  Dice Lockhart:
Al concentrarnos en el “qué” y dejando de lado el “por qué”, las matemáticas son reducidas a un cascarón vacío.  El arte no está en “la verdad” sino en la explicación, en el argumento.  Es el argumento mismo el que le da a la verdad su contexto y determina qué es lo que realmente se está diciendo y qué significa.  Las matemáticas son el arte de la explicación.  Si se le niega a los estudiantes la oportunidad de participar en esta actividad—de plantear sus propios problemas, hacer sus propias conjeturas y descubrimientos, de equivocarse, de estar creativamente frustrados, de tener inspiración, y de armar sus propias explicaciones y demostraciones—se está negando las matemáticas mismas.  Así que no, no me estoy quejando de la presencia de datos y fórmulas en las clases de matemáticas.  Me estoy quejando de la falta de matemáticas en las clases de matemáticas.
¿Pero cómo se vería la enseñanza de matemáticas que Lockhart quisiera?  Nuevamente, pone un ejemplo tomado de uno de sus propios encuentros con alumnos de preparatoria.  En la sección “Geometría de Preparatoria: Instrumento del Diablo”, nos pide considerar el caso de un triángulo inscrito en un semicírculo:
Lockhart1
¿Se puede demostrar que los ángulos formados en los vértices marcados con puntos siempre son de 90°?  ¿Es esto obvio?
He aquí un caso en el que nuestra intuición está un tanto en duda.  No es del todo claro que esto deba ser cierto; inclusive parece improbable—¿no debería cambiar el ángulo si muevo el vértice? ¡Lo que tenemos aquí es un fantástico problema de matemáticas! ¿Es cierto? ¿Por qué? ¡Qué gran proyecto! ¡Qué buena oportunidad para ejercitar el ingenio y la imaginación! Por supuesto, no se le da la oportunidad a los estudiantes, cuya curiosidad e interés es inmediatamente desinflada por:
Teorema 9.5 Sea \( \bigtriangleup ABC\) un triángulo inscrito en un semicírculo con diámetro \( \bar{A} \bar{C}  \).  Entonces, \(\angle ABC\) es un ángulo recto.
Demostración:
1. Dibuje el radio \(OB\). Entonces \(OB = OC = OA\). (Dado)
2. \(m\angle OBC = m\angle BCA\) ;
    \(m\angle OBA = m\angle BAC.\). (Teorema de triángulos isóceles)
3. \(m\angle ABC = m\angle OBA + mOBC\). (Postulado de suma de ángulos)
4. \(m\angle ABC + m\angle BCA + m\angle BAC = 180\). (Suma de ángulos es 180°)
5. \(m\angle ABC + m\angle OBC + m\angle OBA = 180\). (Sustitución en línea 2)
6. \(2 m\angle ABC = 180\). (Sustitución en línea 3)
7. \(m∠ABC = 90\). (Propiedad de división equitativa.)
8. \(\angle ABC\) es un ángulo recto.
¿Puede ser algo más desagradable y poco elegante? […]  Ningún matemático trabaja así.  Ningún matemático ha trabajado así nunca.  Esta es una completa incomprensión de la empresa matemática.  Las matemáticas no son acerca de crear barreras entre nosotros y nuestras intuiciones, ni de hacer complicaciones de las cosas sencillas.  Las matemáticas tratan de remover los obstáculos a nuestra intuición y mantener las cosas simples como tales.

[…]

Compare el desorden anterior con un argumento creado por uno de mis alumnos de secundaria:
Lockhart2“Tomemos el triángulo y girémoslo para que haga una caja dentro del círculo.  Como el triángulo giró por completo, los lados de la caja deben ser paralelos, así que forma un paralelograma.  Pero no puede ser una caja chueca, porque ambas diagonales son diámetros del círculo, por lo que son iguales, lo que significa que es en realidad un rectángulo.  Por eso la esquina siempre es un ángulo recto. […] Como el triángulo giró medio camino a través del círculo, la punta debe quedar exactamente opuesta de donde comenzó.  Por eso las diagonales de la caja son diámetros del círculo.”
*  *  *

No estoy seguro si esta educación matemática funcionaría en el sentido que los administradores quisieran que funcionaran las matemáticas: que la gente sepa sumar, restar, multiplicar, dividir, calcular una propina, equilibrar su chequera, entender qué significa la tasa de interés en su crédito y más.  Pero Lockhart anticipa estas objeciones y más recordándonos que, como se enseñan las matemáticas actualmente, la gente no sabe hacer eso de todos modos.  Ni siquiera el objetivo de los administradores se está cumpliendo con el currículum actual.  Lo único que sucede es que los alumnos recurren a una calculadora de todos modos (¿y por qué no?), olvidan lo poco que aprendieron minutos después del examen y acaban odiando las matemáticas para siempre.  Que algunos pocos sigan adelante a carreras de matemáticas, física o ingeniería es un testamento de la belleza y atracción que logra filtrarse a través del sistema que lucha por ocultarla.

Lockhart también reconoce el rol de los maestros en todo esto: para él, son pobres diablos que les tocó entrar a una maquinaria que aplasta sus intentos de pedagogía real y los obliga a solamente preparar a los alumnos para el examen siguiente.  Además, la mayoría de los maestros que enseñan matemáticas ni siquiera son matemáticos:

La enseñanza no es acerca de la información.  Es acerca de tener una relación intelectual honesta con tus estudiantes.  No requiere ningún método, herramientas ni entrenamiento; solo la habilidad de ser auténtico.  Y si no puedes ser auténtico, entonces no tienes derecho de imponerte a niños inocentes.

En particular, no se puede enseñar a enseñar.  Las escuelas normales son una farsa.  Claro, puedes tomar clases en desarrollo infantil y eso, y puedes estar entrenado para usar un pizarrón “efectivamente” y hacer planeaciones de tus clases (lo cual, por cierto, garantiza que tu clase será planeada y, por lo tanto falsa), pero nunca serás un verdadero maestro si no estás dispuesto a ser una verdadera persona.  Enseñar significa apertura y honestidad, y una habilidad de compartir emoción, y un amor por aprender.  Sin esto, todos los certificados de educación en el mundo no te ayudarán, y con esto serán completamente innecesarios.
Como aderezo para su argumento, el autor incluye divertidos diálogos shakespeareanos entre personajes hipotéticos representando los distintos puntos de vista sobre lo que propone.  La mayor parte de las objeciones posibles a la propuesta se tratan en estos diálogos; Lockhart sabe bien qué es lo que propone y qué piensan los demás de ello.  Un ejemplo breve:
SIMPLICIO: ¿Pero cómo podrán las escuelas garantizar que sus estudiantes todos tengan el mismo conocimiento básico? ¿Cómo podremos medir sus habilidades?
SALVIATI: No podrán, y no lo haremos. Igual que en la vida real.  Ultimadamente hay que enfrentar el hecho de que la gente es diferente y eso está bien.  En cualquier caso, no hay urgencia.  Digamos que una persona se gradúa de la preparatoria sin saber sus fórmulas de ángulos medios (¡como si las supieran ahorita!). ¿Y qué? Al menos esa persona hubiera hubiera obtenido una idea acerca de qué realmente es la materia, y hubiera podido ver algo hermoso.
*  *  *
En el desarrollo de las matemáticas, se crea cierta maquinaria que resulta útil para resolver problemas prácticos. Pero eso no significa que de eso se traten las matemáticas. El método actual es como obligar a los estudiantes a pintar rejas y casas, decirles que es lo importante y práctico, y luego sorprenderse de que no les interese ir a una galería.  Más aún, se pretende dar la impresión de que así fue como Miguel Ángel pintó el techo de la Capilla Sixtina.  Claro que existe el lugar para la técnica, pero ésta se va desarrollando conforme es necesario en el contexto de problemas significativos.
Cuando las ideas se complican mucho la formalidad matemática y el arsenal de técnicas se vuelven necesarios para simplificar el pensamiento.  Pero no tiene caso introducirlos antes solamente para robotizar a los alumnos.  Algunos “datos” y “propiedades” importantes se van quedando simplemente por repetición, según se presentan en distintos problemas. Muchos otros son usados una vez y nunca más… ¡y eso está bien!  Los matemáticos y físicos no se saben todas las identidades trigonométricas tampoco, porque están ocupados pensando en cosas más interesantes y saben que las pueden consultar en un libro cuando se necesario.
Hay una profundidad que lo deja a uno sin aliento y una belleza que le rompe el corazón en este antiguo arte. Qué irónico que la gente descarta a las matemáticas por ser la antítesis de la creatividad.  Se están perdiendo de un arte más antiguo que cualquier libro, más profundo que cualquier poema, y más abstracto que cualquier abstracto. ¡Y es la escuela la que está haciendo esto! Qué ciclo tan triste de maestros inocentes causando daño a estudiantes inocentes.  Nos podríamos estar divirtiendo mucho más.

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